Рішення за ризику та невизначеності

Що ви опануєте

Ви навчитеся будувати матрицю наслідків, застосовувати математичне сподівання, maximin і minimax regret та пояснювати різницю між їхніми припущеннями. Приклад — вибір формату навчального семінару за невідомої кількості учасників. Числа є умовними балами корисності, а не прогнозом реального прибутку.

Стани й наслідки

Стан середовища описує подію, яку рішення не контролює: низька, середня чи висока відвідуваність. Матриця наслідків $u_{ij}$ містить оцінку альтернативи $i$ у стані $j$ . Більше значення корисності означає бажаніший наслідок. Якщо таблиця описує витрати, потрібні інші напрями порівняння або перетворення.

Ризик у цій моделі означає, що для станів задано обґрунтовані ймовірності. Невизначеність означає, що надійної моделі ймовірностей немає. Імовірність події лежить між нулем і одиницею, а сума ймовірностей взаємовиключних вичерпних станів дорівнює одиниці. Випадкове призначення ймовірностей перетворює припущення на приховану частину рішення.

Навчальна матриця

Нехай формат A має наслідки $(8,6,2)$ , B — $(4,7,9)$ . Для низької відвідуваності A кращий, для середньої й високої — B. Жоден формат не переважає за всіма станами. Вибір залежить від того, як відповідальна особа ставиться до несприятливих наслідків і чи має дані про ймовірність станів.

Якщо ймовірності дорівнюють $(0.5,0.3,0.2)$ , очікувані корисності:

E(A)=8\cdot0.5+6\cdot0.3+2\cdot0.2=6.2,

E(B)=4\cdot0.5+7\cdot0.3+9\cdot0.2=5.9.

За критерієм максимального математичного сподівання обирається A. Значення 6.2 є середнім у моделі багатьох повторень за тими самими ймовірностями; окремий семінар не обов’язково дасть саме такий наслідок. Для одноразового рішення важливо також оцінити можливість неприйнятного результату.

Maximin

Критерій maximin вибирає найбільший із найгірших наслідків: $\max_i\min_j u_{ij}$ . Для A мінімум 2, для B — 4, тому вибираємо B. Цей критерій акцентує захист від найгіршого розглянутого стану й не потребує ймовірностей. Він не доводить, що найгірший стан відбудеться; він задає спосіб обережного порівняння.

Потрібно перевірити, чи перелік станів достатній. Якщо існує ще один стан із повною недоступністю майданчика, мінімальні наслідки можуть змінитися. Модель захищає від описаних сценаріїв. Підготовка резервного плану може бути важливішою за невелику різницю рейтингу.

Minimax regret

Жаль або regret — різниця між найкращим можливим наслідком у стані й наслідком обраної альтернативи. Для кожного стовпця знайдемо максимум: $(8,7,9)$ . Жаль A дорівнює $(0,1,7)$ , B — $(4,0,0)$ . Найбільший жаль A — 7, B — 4; minimax regret обирає B.

r_{ij}=\max_k u_{kj}-u_{ij},\qquad \text{вибір}=\arg\min_i\max_j r_{ij}.

У формулі $k$ перебирає альтернативи в одному стані. Жаль має бути невід’ємним. Це критерій мінімізації можливості сильного розчарування відносно найкращого рішення після з’ясування стану. Він використовує іншу точку відліку, ніж maximin, тому результати методів можуть відрізнятися.

Виконувані обчислення

python

u = {"A": [8, 6, 2], "B": [4, 7, 9]}
p = [0.5, 0.3, 0.2]
assert abs(sum(p) - 1) < 1e-9
best_by_state = [max(row[j] for row in u.values()) for j in range(3)]
for name, row in u.items():
    expected = sum(x * probability for x, probability in zip(row, p))
    worst = min(row)
    regret = max(best - value for best, value in zip(best_by_state, row))
    print(name, round(expected, 2), worst, regret)

Очікуваний вивід: A 6.2 2 7; B 5.9 4 4. zip зіставляє наслідки та ймовірності. Для універсальної реалізації перевіряють однакові довжини рядків, невід’ємність і скінченність ймовірностей, а не лише їх суму. Інакше коротший рядок може бути мовчки обрізаний zip.

Цінність інформації

Якби стан був відомий до вибору, у кожному стовпці можна було б взяти найкращий наслідок. Очікування за досконалої інформації: $8\cdot0.5+7\cdot0.3+9\cdot0.2=7.9$ . Найкраще очікування без неї — 6.2. Різниця 1.7 є верхньою межею очікуваної цінності досконалої інформації у цій моделі корисності.

Реальне опитування не дає досконалої інформації й може змінити умови участі. Його користь потрібно оцінювати окремо. Не порівнюйте умовні бали безпосередньо з грошовою ціною опитування без моделі перетворення. Коректні одиниці залишаються важливими на кожному кроці.

Типові помилки та практики

Помилками є максимізація таблиці витрат, розрахунок regret по рядках замість стовпців і ймовірності без джерела. Різні критерії не варто усереднювати без пояснення: вони виражають різне ставлення до невизначеності. Показуйте кілька результатів і називайте припущення, яке веде до кожного.

Практичний аналіз

Змініть ймовірності на $(0.2,0.3,0.5)$ й перерахуйте очікування. Поясніть, чому maximin не зміниться. Додайте альтернативу C з наслідками $(5,5,5)$ та перевірте всі критерії. Назвіть дані, які допоможуть обґрунтувати реальну ймовірність відвідуваності.

Інтерпретація ризику на одному сценарії

Матриця наслідків описує результати рішення за станів середовища. Альтернатива задається особою, що обирає; стан середовища в цій моделі не контролюється. Якщо попит може бути низьким, середнім або високим, перевірте, що стани покривають потрібні ситуації та взаємно узгоджені. Ймовірності мають сумарно дорівнювати одиниці.

Математичне сподівання усереднює наслідки за заданими ймовірностями. Для одноразового рішення результат може сильно відрізнятися від середнього. Потрібно пояснити, чи прийнятний найгірший наслідок, і чи умовні бали справді відображають ставлення до втрат. Лінійне сподівання грошового результату не автоматично моделює індивідуальну корисність грошей.

Regret вимірює втрату відносно найкращої дії для вже відомого стану. Для кожного стовпця спершу знайдіть максимум, потім відніміть результат альтернативи. Maximin оцінює найгірший власний результат; minimax regret оцінює найгірше упущення відносно доступного в тому самому стані. Це предметно різні критерії обережності.

Для EVPI уявіть, що перед вибором стан стає точно відомим. Тоді в кожному стані можна обрати найкращу альтернативу. Різниця очікуваних результатів із такою інформацією та без неї задає верхню межу її цінності в цій моделі. Реальне опитування дає неповну інформацію, тому його вартість і похибку потрібно оцінювати окремо. EVPI не є гарантованим доходом від будь-якого дослідження.

Схема процесу

Рішення за ризику та невизначеностіОберіть елемент, щоб побачити пояснення

Визначаємо зовнішні сценарії.

Самоперевірка

Як обґрунтувати відповідь своїми словами?

Regret порівнює рішення з найкращим можливим наслідком за того самого стану середовища.

Підсумок

Очікувана корисність потребує обґрунтованих ймовірностей. Maximin і minimax regret застосовують різні правила обережного вибору. Розбіжність результатів пояснює роль припущень і допомагає планувати отримання інформації.