Критерії, нормалізація та зважена оцінка

Що ви опануєте

Після опрацювання цієї лекції ви зможете:

• пояснити, що таке критерій у задачі прийняття рішень;
• розрізняти критерії вигоди та витрат;
• визначати, навіщо потрібна нормалізація;
• застосовувати min–max нормалізацію для різних напрямів критеріїв;
• пояснювати, чому масштаб вимірювання впливає на підсумковий рейтинг;
• задавати ваги критеріїв і перевіряти їхню узгодженість;
• обчислювати зважену інтегральну оцінку;
• бачити компенсаторний характер зваженої суми;
• аналізувати випадок сталого критерію;
• працювати з фіксованими та динамічними межами нормалізації;
• оцінювати чутливість рейтингу до ваг;
• виконувати розрахунки вручну й у Python;
• аргументовано пояснювати отриманий результат.

Від одного критерію до системи критеріїв

У найпростішій задачі вибору достатньо одного показника. Наприклад, якщо потрібно обрати найдешевший тариф, можна просто порівняти ціну.

У реальних задачах одного показника зазвичай недостатньо. Для вибору середовища проведення семінару можуть бути важливими:

• вартість;
• місткість;
• транспортна доступність;
• технічне оснащення;
• рівень безбар’єрності;
• відгуки;
• відстань від центру.

Кожен із цих показників описує окрему сторону рішення.

Альтернатива — це конкретний варіант рішення. Наприклад:

• зал A;
• зал B;
• зал C.

Тоді дані можна подати у вигляді таблиці:

Уже на цьому етапі виникає проблема: критерії вимірюються у різних одиницях і мають різні числові масштаби.

Чому не можна просто скласти сирі значення

Припустимо, хтось вирішив обчислити:

Для альтернативи A:

Для B:

Для C:

Отримаємо C як “найкращу” альтернативу, хоча вартість тут більша, а її числове значення штучно збільшує підсумок.

Проблема полягає у трьох речах:

• різні одиниці вимірювання;
• різні числові масштаби;
• різний напрям бажаності.

Критерії вигоди та критерії витрат

Критерій вигоди

Приклади:

• продуктивність;
• точність;
• місткість;
• рейтинг;
• швидкість;
• рівень доступності.

Якщо місткість 100 краща за 80, напрям критерію є висхідним.

Критерій витрат

Приклади:

• ціна;
• час очікування;
• енергоспоживання;
• кількість помилок;
• ризик;
• відстань.

Якщо 300 грн кращі за 500 грн, напрям критерію є спадним.

Що таке нормалізація

У цій лекції використовуємо шкалу від 0 до 1.

Інтерпретація:

• 0 — найменш бажане значення в заданих межах;
• 1 — найбільш бажане;
• проміжні значення — відносне положення між крайніми точками.

Min–max нормалізація для критерію вигоди

Для критерію вигоди:

де:

• $x_{ij}$ — значення альтернативи $i$ за критерієм $j$;
• $x_j^{\min}$ — мінімальне значення критерію;
• $x_j^{\max}$ — максимальне значення критерію;
• $r_{ij}$ — нормалізоване значення.

Інтуїція формули

Чисельник:

показує, наскільки значення відійшло від мінімуму.

Знаменник:

описує повний діапазон критерію.

Тому частка показує положення альтернативи всередині цього діапазону.

Для доступності:

• A: $(8-6)/(10-6)=0.5$;
• B: $(6-6)/4=0$;
• C: $(10-6)/4=1$.

Min–max нормалізація для критерію витрат

Для витрат логіка змінюється:

Тут найменше сире значення повинно отримати найбільший нормалізований бал.

Для вартості:

• мінімум: 300;
• максимум: 500;
• діапазон: 200.

Тоді:

Повна нормалізована таблиця

Після перетворення:

Тепер обидва критерії мають однаковий напрям:

більше = краще.

Це критично важливо для подальшого агрегування.

Що таке вага критерію

Для зваженої суми зазвичай використовують:

та

Приклад:

• вартість: $w_1=0.4$;
• доступність: $w_2=0.6$.

Тоді доступність має більший внесок у підсумкову оцінку.

Як формується інтегральна оцінка

Для зваженої суми:

Для двох критеріїв:

Альтернатива A

Альтернатива B

Альтернатива C

Рейтинг:

Таблиця внесків

Корисно показувати не лише фінальний бал, а й внесок кожного критерію.

Так видно, чому саме C перемагає: її перевага повністю формується критерієм доступності.

Компенсаторний характер зваженої суми

Зважена сума дозволяє сильній стороні альтернативи компенсувати слабшу.

Наприклад:

• B має найкращу вартість;
• C має найкращу доступність.

За вагами 0.4 і 0.6 C перемагає.

Якщо ваги змінити:

• вартість: 0.7;
• доступність: 0.3;

отримаємо:

Тепер переможець — B.

Коли зважена сума непридатна

Зважена сума передбачає можливість компенсації.

Якщо певна характеристика є обов’язковою, її краще оформити як обмеження.

Наприклад:

доступність повинна бути не нижче 7 балів.

Тоді B із доступністю 6 відсіюється до агрегування.

Сталий критерій і ділення на нуль

Якщо всі альтернативи мають однакове значення:

тоді знаменник:

Min–max формула стає невизначеною.

Наприклад:

Цей критерій не розрізняє альтернативи.

Варіанти дій:

• виключити критерій з агрегування;
• однаково оцінити всі альтернативи;
• перенормувати ваги решти критеріїв;
• зафіксувати правило в методиці.

Нормалізація залежить від набору альтернатив

Min–max нормалізація використовує мінімум і максимум поточного набору.

Припустимо, додається D:

• вартість = 1000;
• доступність = 8.

Тепер для вартості:

Для A:

Раніше було 0.5.

Сама ціна A не змінилася, але її нормалізований бал став іншим.

Фіксовані межі нормалізації

Щоб зменшити залежність від набору, можна використовувати зовнішні межі.

Наприклад:

• мінімальна допустима ціна: 200;
• максимальна допустима ціна: 1000.

Тоді:

Для A:

Для B:

Для C:

Перевага цього підходу: шкала стабільна для різних наборів альтернатив.

Недолік: межі потрібно обґрунтувати.

Динамічні та фіксовані межі

Порядкові шкали та проблема інтервалів

Не всі бали мають однаковий зміст.

Наприклад, оцінка доступності:

• 1 — дуже низька;
• 2 — низька;
• 3 — середня;
• 4 — висока;
• 5 — дуже висока.

Не завжди можна вважати, що різниця між 1 і 2 еквівалентна різниці між 4 і 5.

Тому перед математичним агрегуванням варто сформувати рубрику.

Приклад:

Як перевіряти ваги

Перед обчисленням:

Наприклад:

Якщо маємо:

можна виконати перенормування:

Тоді:

Як формувати ваги на практиці

Є кілька підходів:

• експертне призначення;
• парні порівняння;
• голосування групи;
• статистичне оцінювання;
• ваги з політики або нормативів;
• аналіз сценаріїв.

У цій лекції ваги задаються вручну, щоб зосередитися на логіці моделі.

Чутливість до ваг

Чутливість — це перевірка того, наскільки рейтинг змінюється при невеликих змінах параметрів.

Для двох критеріїв:

Тоді:

Для B:

Для C:

Точка рівності:

Отже:

• якщо вага ціни більша 0.5, B краща;
• якщо вага ціни менша 0.5, C краща.

Це вже сильніше пояснення, ніж перевірка двох випадкових наборів ваг.

Практичний розрахунок у Python

alternatives = [
    {"name": "A", "cost": 400, "access": 8},
    {"name": "B", "cost": 300, "access": 6},
    {"name": "C", "cost": 500, "access": 10},
]

costs = [row["cost"] for row in alternatives]
access_values = [row["access"] for row in alternatives]

min_cost = min(costs)
max_cost = max(costs)

min_access = min(access_values)
max_access = max(access_values)

weights = {
    "cost": 0.4,
    "access": 0.6,
}

for row in alternatives:
    # Вартість — критерій витрат:
    # менше сире значення повинно дати більший нормалізований бал.
    r_cost = (max_cost - row["cost"]) / (max_cost - min_cost)

    # Доступність — критерій вигоди:
    # більше сире значення повинно дати більший нормалізований бал.
    r_access = (
        row["access"] - min_access
    ) / (
        max_access - min_access
    )

    # Підсумкова оцінка — сума зважених внесків.
    score = (
        weights["cost"] * r_cost
        + weights["access"] * r_access
    )

    row["r_cost"] = r_cost
    row["r_access"] = r_access
    row["score"] = score

ranked = sorted(
    alternatives,
    key=lambda row: row["score"],
    reverse=True
)

for row in ranked:
    print(
        row["name"],
        round(row["score"], 3)
    )

Універсальна функція нормалізації

def minmax_normalize(values, direction="benefit"):
    min_value = min(values)
    max_value = max(values)

    if max_value == min_value:
        raise ValueError(
            "Критерій не розрізняє альтернативи"
        )

    if direction == "benefit":
        return [
            (value - min_value)
            / (max_value - min_value)
            for value in values
        ]

    if direction == "cost":
        return [
            (max_value - value)
            / (max_value - min_value)
            for value in values
        ]

    raise ValueError("Невідомий напрям критерію")

Мікроексперимент: змініть одну вагу

Візьміть:

Перед розрахунком спрогнозуйте, хто переможе.

Потім обчисліть:

Після цього змініть:

Порівняйте рейтинг.

Мікроексперимент: додайте крайню альтернативу

Додайте:

Потім:

• перерахуйте min–max для вартості;
• порівняйте старі та нові бали A, B, C;
• поясніть, чому їхні сирі значення не змінилися, а нормалізовані — змінилися;
• зробіть висновок щодо стабільності шкали.

Мікроексперимент: сталий критерій

Додайте критерій:

Спробуйте застосувати min–max.

Поясніть:

• чому виникає ділення на нуль;
• чому критерій не допомагає вибору;
• що можна зробити з його вагою.

Типові помилки

Професійна перевірка моделі

Перед довірою до рейтингу перевірте:

Карта понять

Самоперевірка термінів

Перевірка розуміння

Питання для пояснення своїми словами

Підсумок

Джерела для подальшого вивчення

• NumPy — average
• NumPy — min
• NumPy — max
• SciPy — optimize
• Python Documentation — sorting