Багатокритеріальний вибір: Парето та відстань до ідеалу

Що ви опануєте

Після опрацювання цієї лекції ви зможете:

• пояснити, що таке домінування у багатокритеріальній задачі;
• перевіряти домінування математично та програмно;
• знаходити множину Парето;
• пояснювати, чому множина Парето може містити кілька альтернатив;
• відрізняти допустимість від недомінованості;
• будувати ідеальну та антиідеальну точки;
• обчислювати евклідову відстань у просторі критеріїв;
• визначати коефіцієнт близькості до ідеалу;
• пояснювати геометричний зміст TOPSIS;
• виконувати повний навчальний розрахунок TOPSIS;
• аналізувати вплив ваг і нормалізації;
• бачити випадки, коли геометричний рейтинг може бути нестійким;
• перевіряти рейтинг вручну та у Python;
• аргументовано пояснювати компроміс між кількома критеріями.

Чому одного критерію вже недостатньо

У попередній лекції ми навчилися приводити критерії до спільної шкали та формувати зважену оцінку. Тепер розглянемо іншу ситуацію.

Нехай потрібно обрати одну з альтернатив за двома нормалізованими критеріями:

• $K_1$ — перша характеристика;
• $K_2$ — друга характеристика.

Вважаємо, що для обох критеріїв:

більше значення означає кращий результат.

Маємо:

Якщо дивитися лише на $K_1$, найкращою є A.

Якщо дивитися лише на $K_2$, найкращою є C.

Тому виникає питання:

Чи є серед альтернатив така, яку можна відкинути без додаткових ваг і без суб’єктивного компромісу?

Саме це питання вирішує Парето-домінування.

Простір критеріїв

Кожну альтернативу можна уявити як точку у просторі критеріїв.

Для двох критеріїв:

Наприклад:

Координата по горизонтальній осі може відповідати $K_1$, а по вертикальній — $K_2$.

Для двох критеріїв це площина.

Для трьох — тривимірний простір.

Для більшої кількості критеріїв геометрична інтуїція зберігається, хоча простір уже не можна повністю зобразити на звичайному екрані.

Що таке домінування

Формально:

Тут:

• $\forall$ означає «для всіх»;
• $\exists$ означає «існує хоча б один»;
• $r_{aj}$ — оцінка альтернативи $a$ за критерієм $j$;
• $a\succ b$ читається як «$a$ домінує $b$».

Як читати формулу домінування

Розберемо її по частинах.

Перша умова

означає:

за кожним критерієм A не гірша за B.

Друга умова

означає:

хоча б за одним критерієм A краща за B.

Обидві умови потрібні одночасно.

Покрокова перевірка A та B

Маємо:

Перевіряємо перший критерій:

Умова виконується.

Перевіряємо другий:

Умова теж виконується.

Є строгі покращення:

і

Отже:

A домінує B.

Покрокова перевірка A та C

Маємо:

За першим критерієм:

A краща.

За другим:

C краща.

Жодна з альтернатив не є не гіршою за всіма критеріями.

Тому:

і

Між ними існує компроміс.

Що таке множина Парето

Для нашого прикладу:

• B домінується A;
• A не домінується C;
• C не домінується A.

Тому множина Парето:

B можна відкинути без введення ваг.

A і C залишаються компромісними рішеннями.

Парето-фронт

Якщо альтернативи розташувати у просторі критеріїв, недоміновані точки утворюють Парето-фронт.

У задачах оптимізації Парето-фронт часто показує набір компромісів:

• покращення одного критерію;
• погіршення іншого;
• відсутність універсально кращого варіанта.

Допустимість і Парето — різні речі

Перш ніж шукати Парето-фронт, потрібно перевірити обмеження.

Наприклад:

• бюджет не більше 500 грн;
• доступність не нижче 7;
• місткість не менше 50 осіб.

Якщо альтернатива порушує обов’язкове обмеження, вона не повинна потрапляти до Парето-аналізу.

Що робити, якщо всі альтернативи недоміновані

Це нормальна ситуація.

Наприклад:

Кожна альтернатива сильніша за одним критерієм і слабша за іншим.

Жодна не домінує іншу.

Множина Парето містить усі чотири точки.

Тоді Парето-аналіз виконує роль фільтра структури вибору, але не створює рейтинг.

Ідея ідеальної точки

Після Парето-відбору можна використати геометричний підхід.

Для нормалізованої шкали $[0,1]$:

можна використовувати як умовну ідеальну точку.

Вона означає:

• максимум за першим критерієм;
• максимум за другим.

Ця точка може не відповідати жодній реальній альтернативі.

Антиідеальна точка

Для шкали $[0,1]$:

Тоді кожну альтернативу можна оцінити через:

• відстань до ідеалу;
• відстань до антиідеалу.

Евклідова відстань

Для двох точок:

евклідова відстань:

Для $m$ критеріїв:

Відстань до ідеалу

Для альтернативи $i$:

Чим менше $d_i^+$, тим ближча альтернатива до ідеалу.

Відстань до антиідеалу

Чим більше $d_i^-$, тим далі альтернатива від найгіршої точки.

Чому потрібні обидві відстані

Уявімо дві альтернативи, які приблизно однаково близькі до ідеалу.

Одна з них може одночасно бути ближчою до антиідеалу.

Тому у TOPSIS використовується показник, що враховує обидві відстані.

Формула:

Зазвичай:

Чим більше $C_i$, тим бажанішою є альтернатива за заданою геометричною моделлю.

Повний розрахунок для A

Маємо:

Ідеал:

Антиідеал:

Відстань до ідеалу

Відстань до антиідеалу

Коефіцієнт близькості

Повний розрахунок для C

Відстань до ідеалу

Відстань до антиідеалу

Коефіцієнт близькості

Отже:

За цією геометричною моделлю C має вищий рейтинг.

Чому A залишається важливою альтернативою

A не стала «поганою».

Вона все ще:

• недомінована;
• краща за C за першим критерієм;
• гірша за C за другим.

Рейтинг за відстанню до ідеалу вводить додаткове правило:

компроміс оцінюється через геометричну близькість у просторі критеріїв.

Це вже нове припущення моделі.

Геометрична інтуїція

Евклідова відстань використовує квадрат відхилення.

Наприклад:

а

Велике відхилення має значно більший внесок у відстань.

Це означає, що метрика сама впливає на характер компромісу.

Манхеттенська відстань як інша метрика

Інший варіант:

Це манхеттенська відстань.

Для A до ідеалу:

Для C:

Рейтинг може зберегтися або змінитися залежно від даних.

Що таке TOPSIS

Класична логіка TOPSIS включає кілька кроків.

Матриця рішень у TOPSIS

Нехай маємо три альтернативи та три критерії:

Припустимо:

• ціна — критерій витрат;
• доступність — критерій вигоди;
• місткість — критерій вигоди.

Векторна нормалізація

У класичному TOPSIS часто використовується векторна нормалізація:

Вона нормалізує кожен стовпець за його евклідовою нормою.

Для ціни

Маємо:

Знаменник:

Отже:

Зважена нормалізована матриця

Після нормалізації застосовують ваги:

Наприклад:

• ціна: $w_1=0.4$;
• доступність: $w_2=0.35$;
• місткість: $w_3=0.25$.

Тоді кожен нормалізований стовпець множиться на відповідну вагу.

Як визначають ідеал у TOPSIS

Для критеріїв вигоди:

Для критеріїв витрат:

Антиідеал навпаки:

для вигоди:

для витрат:

Спрощений TOPSIS і повний TOPSIS

Повний приклад у Python: Парето

points = {
    "A": (0.8, 0.4),
    "B": (0.5, 0.3),
    "C": (0.4, 0.9),
}

def dominates(a, b):
    # Перша умова:
    # a не гірша за b за кожним критерієм.
    not_worse = all(
        x >= y
        for x, y in zip(a, b)
    )

    # Друга умова:
    # a строго краща хоча б за одним критерієм.
    strictly_better = any(
        x > y
        for x, y in zip(a, b)
    )

    return not_worse and strictly_better


pareto = {}

for name, point in points.items():
    is_dominated = any(
        dominates(other_point, point)
        for other_name, other_point in points.items()
        if other_name != name
    )

    if not is_dominated:
        pareto[name] = point

print(pareto)

Очікуваний результат:

{'A': (0.8, 0.4), 'C': (0.4, 0.9)}

Повний приклад у Python: близькість до ідеалу

from math import dist

pareto = {
    "A": (0.8, 0.4),
    "C": (0.4, 0.9),
}

ideal = (1.0, 1.0)
anti_ideal = (0.0, 0.0)

scores = {}

for name, point in pareto.items():
    d_plus = dist(point, ideal)
    d_minus = dist(point, anti_ideal)

    closeness = (
        d_minus
        / (d_plus + d_minus)
    )

    scores[name] = {
        "d_plus": d_plus,
        "d_minus": d_minus,
        "closeness": closeness,
    }

for name, values in scores.items():
    print(
        name,
        round(values["closeness"], 4)
    )

Реалізація повного TOPSIS у Python

from math import sqrt

alternatives = ["A", "B", "C"]

matrix = [
    [400, 8, 60],
    [300, 6, 80],
    [500, 10, 100],
]

weights = [0.4, 0.35, 0.25]

# True означає критерій вигоди.
# False означає критерій витрат.
benefit = [False, True, True]

rows = len(matrix)
cols = len(matrix[0])

# Крок 1. Обчислюємо евклідову норму
# для кожного стовпця.
norms = []

for j in range(cols):
    column_sum = sum(
        matrix[i][j] ** 2
        for i in range(rows)
    )
    norms.append(sqrt(column_sum))

# Крок 2. Нормалізуємо матрицю.
normalized = []

for i in range(rows):
    row = []

    for j in range(cols):
        row.append(
            matrix[i][j] / norms[j]
        )

    normalized.append(row)

# Крок 3. Застосовуємо ваги.
weighted = []

for i in range(rows):
    row = []

    for j in range(cols):
        row.append(
            normalized[i][j]
            * weights[j]
        )

    weighted.append(row)

# Крок 4. Визначаємо
# ідеальну та антиідеальну точки.
ideal = []
anti_ideal = []

for j in range(cols):
    column = [
        weighted[i][j]
        for i in range(rows)
    ]

    if benefit[j]:
        ideal.append(max(column))
        anti_ideal.append(min(column))
    else:
        ideal.append(min(column))
        anti_ideal.append(max(column))

# Крок 5. Відстані та коефіцієнти.
result = []

for i in range(rows):
    d_plus = sqrt(
        sum(
            (weighted[i][j] - ideal[j]) ** 2
            for j in range(cols)
        )
    )

    d_minus = sqrt(
        sum(
            (weighted[i][j] - anti_ideal[j]) ** 2
            for j in range(cols)
        )
    )

    closeness = d_minus / (d_plus + d_minus)

    result.append(
        (
            alternatives[i],
            closeness
        )
    )

# Крок 6. Рейтинг.
ranked = sorted(
    result,
    key=lambda item: item[1],
    reverse=True
)

for name, score in ranked:
    print(name, round(score, 4))

Чутливість TOPSIS до ваг

Ваги змінюють геометрію простору.

Після множення:

критерій із більшою вагою фактично сильніше впливає на відстань.

Якщо збільшити вагу першого критерію:

• координати розтягуються вздовж відповідної осі;
• відстані змінюються;
• рейтинг може змінитися.

Мікроексперимент: змініть ваги

Використайте:

Порівняйте з:

Перед запуском спрогнозуйте:

• яка альтернатива посилиться;
• яка ослабне;
• чому.

Після обчислення поясніть результат через внесок критеріїв.

Чутливість до нормалізації

TOPSIS залежить і від способу нормалізації.

Можна використовувати:

• векторну нормалізацію;
• min–max;
• інші узгоджені способи.

Різні перетворення можуть змінити геометрію.

Тому в методиці потрібно вказувати конкретну формулу.

Додавання нової альтернативи

Припустимо, додаємо:

D майже ідеальна.

Вона може:

• домінувати частину старих альтернатив;
• змінити Парето-фронт;
• змінити ідеальну точку, якщо вона визначається з даних;
• змінити рейтинг TOPSIS.

Це демонструє, що багатокритеріальна модель залежить від складу набору альтернатив.

Дубльовані альтернативи

Додамо:

Вона має ті самі координати, що й A.

За строгим Парето-визначенням:

• A не домінує D;
• D не домінує A.

Причина: немає строгого покращення.

Обидві можуть залишитися у множині Парето.

Корельовані критерії

Два критерії можуть фактично вимірювати одну й ту саму властивість.

Наприклад:

• загальний рейтинг;
• експертна оцінка якості;
• задоволеність користувачів.

Якщо вони сильно корельовані, одна характеристика може отримати подвійний вплив.

Відстань і похибка вимірювання

Якщо оцінки отримані експертно, вони можуть містити похибку.

Наприклад:

Невелика зміна оцінок може змінити коефіцієнти близькості.

Якщо різниця між фінальними значеннями мала, сильний висновок про перевагу може бути необґрунтованим.

Як інтерпретувати близькі рейтинги

Нехай:

Формально A вище.

Але різниця:

Це дуже мало.

Потрібно перевірити:

• точність вихідних даних;
• чутливість до ваг;
• чутливість до нормалізації;
• похибки експертних оцінок.

Типові помилки

Професійна перевірка багатокритеріальної моделі

Мікроексперимент: додайте D

Додайте:

Визначте:

• чи домінує A над D;
• чи домінує D над A;
• чи обидві точки входять у множину Парето.

Поясніть роль строгого покращення.

Мікроексперимент: додайте E

Додайте:

Перевірте:

• які альтернативи E домінує;
• як змінюється множина Парето;
• чи потрібен після цього TOPSIS.

Мікроексперимент: бюджетне обмеження

Припустимо, E має найкращі оцінки, але її ціна перевищує бюджет.

Поясніть:

• чому E потрібно виключити до Парето-аналізу;
• чому рейтинг не може «компенсувати» порушення жорсткого обмеження.

Мікроексперимент: змініть метрику

Для A і C обчисліть:

• евклідову відстань;
• манхеттенську відстань.

Порівняйте результати.

Поясніть, що саме змінюється у трактуванні компромісу.

Самоперевірка термінів

Перевірка розуміння

Питання для пояснення своїми словами

Карта понять

Підсумок

Джерела для подальшого вивчення

• Python Documentation — math.dist
• Python Documentation — zip
• NumPy — linear algebra
• NumPy — normalization operations
• SciPy — distance computations